Per a decidir si una inversió val la pena cal comparar el que costa hui amb el que tornarà en el futur. El VAN i la TIR tenen en compte que un euro d’ací a tres anys val menys que un de hui; el termini de recuperació (payback) només compta quant es tarda a recuperar els diners.
Formulari
- Valor actual net: VAN = −A + Q₁/(1 + k) + Q₂/(1 + k)² + … + Qₙ/(1 + k)ⁿ
- A: desemborsament inicial (en l’any 0, no es descompta) · Qₜ: flux de caixa de l’any t · k: cost del capital o tipus de descompte, en tant per u
- Taxa interna de rendibilitat (TIR): el tipus r que fa VAN = 0. Amb dos anys, es resol com a equació de segon grau amb x = 1 + r
- Termini de recuperació (payback): anys fins que els fluxos acumulats, sense descomptar, igualen el desemborsament. Amb fracció d’any: anys complets + (el que falta / flux de l’any següent)
- Criteris de decisió: s’accepta si VAN > 0 o si TIR > k; entre diversos projectes, el de VAN major; amb el payback, el que recupera abans
Problemes resolts
Problema 1 — VAN i payback, comparació de dos projectes
Enunciat. Una empresa estudia dues inversions excloents amb un cost del capital del 10 %.
| Projecte | Desemborsament | Flux any 1 | Flux any 2 | Flux any 3 |
|---|---|---|---|---|
| A | 30.000 | 12.000 | 15.000 | 18.000 |
| B | 30.000 | 20.000 | 12.000 | 8.000 |
a) Calcula el VAN de cada projecte. b) Calcula el termini de recuperació de cadascun. c) Decidix quin convé segons el VAN.
Solució.
a) VAN del projecte A (k = 0,10):
VAN_A = −30.000 + 12.000/1,10 + 15.000/1,10² + 18.000/1,10³ = −30.000 + 12.000/1,10 + 15.000/1,21 + 18.000/1,331 = −30.000 + 10.909,09 + 12.396,69 + 13.523,67 = 6.829,45 euros
VAN del projecte B:
VAN_B = −30.000 + 20.000/1,10 + 12.000/1,21 + 8.000/1,331 = −30.000 + 18.181,82 + 9.917,36 + 6.010,52 = 4.109,70 euros
b) Termini de recuperació (amb els fluxos sense descomptar):
Projecte A: després de l’any 1 s’han recuperat 12.000; després de l’any 2, 12.000 + 15.000 = 27.000 (falten 3.000); a l’any 3 el flux és 18.000.
Payback_A = 2 anys + (3.000 / 18.000) = 2 + 0,1667 = 2,17 anys (≈ 2 anys i 2 mesos)
Projecte B: després de l’any 1, 20.000; després de l’any 2, 20.000 + 12.000 = 32.000, que ja supera els 30.000. Faltaven 10.000 en començar l’any 2.
Payback_B = 1 any + (10.000 / 12.000) = 1 + 0,8333 = 1,83 anys (≈ 1 any i 10 mesos)
Interpretació. Els dos projectes tenen VAN positiu, així que tots dos són rendibles al 10 %. Segons el criteri del VAN, convé el projecte A, que genera 6.829,45 euros de valor actual net enfront dels 4.109,70 de B; A crea més riquesa per a l’empresa. En canvi, el payback afavorix B (recupera el desemborsament en 1,83 anys enfront de 2,17 d’A), perquè concentra els fluxos al principi. Si l’empresa prioritza la rendibilitat total, tria A; si prioritza recuperar prompte la liquiditat, tria B. El criteri del VAN és el més recomanable perquè considera tots els fluxos i el valor del diner en el temps.
Problema 2 — TIR amb dos anys
Enunciat. Un projecte exigix un desemborsament inicial de 10.000 euros i genera fluxos de 6.000 euros el primer any i 6.600 euros el segon. Si el cost del capital és del 8 %, calcula la TIR i indica si convé acceptar-lo.
Solució.
La TIR és la taxa que anul·la el VAN. L’anomenem x = 1 + TIR:
0 = −10.000 + 6.000/x + 6.600/x²
Multipliquem-ho tot per x²:
0 = −10.000·x² + 6.000·x + 6.600 10.000·x² − 6.000·x − 6.600 = 0
Dividim entre 200 per a simplificar:
50·x² − 30·x − 33 = 0
Apliquem la fórmula de l’equació de segon grau:
x = [30 ± √(30² + 4·50·33)] / (2·50) = [30 ± √(900 + 6.600)] / 100 = [30 ± √7.500] / 100 √7.500 = 86,6025 x = (30 + 86,6025) / 100 = 116,6025 / 100 = 1,166025
(L’arrel negativa es descarta perquè donaria x < 0.)
TIR = x − 1 = 1,166025 − 1 = 0,166 → TIR ≈ 16,6 %
Interpretació. La TIR del projecte és del 16,6 %, la rendibilitat interna que oferix la inversió. Com que la TIR (16,6 %) és major que el cost del capital (8 %), el projecte convé acceptar-lo: rendix més del que costa finançar-lo, per la qual cosa genera valor per a l’empresa.
Problema 3 — VAN amb fluxos constants i desemborsament recuperable
Enunciat. Una inversió de 50.000 euros genera un flux de caixa de 22.000 euros durant cadascun dels tres anys de la seua vida. El cost del capital és del 6 %. Calcula el VAN i el payback, i digues si s’accepta.
Solució.
VAN = −50.000 + 22.000/1,06 + 22.000/1,06² + 22.000/1,06³ = −50.000 + 22.000/1,06 + 22.000/1,1236 + 22.000/1,191016 = −50.000 + 20.754,72 + 19.579,92 + 18.471,62 = 8.806,26 euros
Payback (fluxos constants de 22.000):
Payback = 50.000 / 22.000 = 2,27 anys (≈ 2 anys i 3 mesos)
Interpretació. El VAN és de 8.806,26 euros, clarament positiu, per la qual cosa la inversió s’accepta: aporta més de 8.800 euros de valor actual net per damunt del desemborsament. A més, el desemborsament es recupera en 2,27 anys, dins de la vida del projecte (3 anys), la qual cosa reforça la decisió d’acceptar-la.
Problema 4 — VAN amb valor residual i pujada del tipus d’interés (tipus examen)
Enunciat. Repartiments Ruzafa S.L. estudia comprar una furgoneta elèctrica per 40.000 euros. Estima que li generarà uns fluxos de caixa de 15.000 euros el primer any, 18.000 euros el segon i 12.000 euros el tercer. Al final del tercer any podrà vendre-la per 5.000 euros (valor residual).
a) Calcula el VAN amb un cost del capital del 7 % i indica si convé la inversió.
b) El banc puja el tipus d’interés i el cost del capital passa al 12 %. Calcula el nou VAN i digues si la decisió canvia.
c) Sense calcular-la exactament, entre quins valors està la TIR? Justifica-ho.
Solució.
El valor residual és un cobrament més de l’últim any, així que el flux de l’any 3 és 12.000 + 5.000 = 17.000 euros.
a) Plantejament: VAN = −A + Q₁/(1 + k) + Q₂/(1 + k)² + Q₃/(1 + k)³, amb k = 0,07.
VAN = −40.000 + 15.000/1,07 + 18.000/1,07² + 17.000/1,07³ = −40.000 + 15.000/1,07 + 18.000/1,1449 + 17.000/1,225043 = −40.000 + 14.018,69 + 15.721,90 + 13.877,06 = 3.617,65 euros
b) Amb k = 0,12:
VAN = −40.000 + 15.000/1,12 + 18.000/1,12² + 17.000/1,12³ = −40.000 + 15.000/1,12 + 18.000/1,2544 + 17.000/1,404928 = −40.000 + 13.392,86 + 14.349,49 + 12.100,26 = −157,39 euros
c) La TIR és el tipus que fa VAN = 0. Al 7 % el VAN és positiu i al 12 % és negatiu, així que el VAN passa per zero entre els dos: la TIR està entre el 7 % i el 12 %, molt a prop del 12 %, perquè allí el VAN (−157,39) és molt menor en valor absolut que al 7 % (3.617,65). El valor exacte, amb calculadora financera, és ≈ 11,8 %.
Resultat: VAN de 3.617,65 euros al 7 % i de −157,39 euros al 12 %; TIR entre el 7 % i el 12 % (≈ 11,8 %).
Interpretació. Amb un cost del capital del 7 %, la furgoneta convé: torna tot el que s’ha invertit, el cost de finançar-ho i 3.617,65 euros més en valor actual. Si el cost del capital puja al 12 %, la mateixa inversió destruïx valor (VAN negatiu) i deixa de convindre. La TIR, al voltant de l’11,8 %, és el cost de finançament màxim que suporta el projecte: mentre l’empresa es finance per davall d’eixe tipus, la inversió ix rendible.
Errors típics que resten punts
- Descomptar el desemborsament inicial. Es paga en l’any 0, així que va restant i sense dividir entre (1 + k).
- Usar el percentatge sense passar-lo a tant per u. Amb un 7 % es dividix entre 1,07, no entre 1,7 ni entre 7.
- Oblidar el valor residual. Si l’actiu es ven al final, eixe cobrament se suma al flux de l’últim any.
- Donar el payback només en anys decimals. 2,17 anys convé expressar-ho com a 2 anys i 2 mesos (0,17 × 12 ≈ 2 mesos).
- Decidir pel payback quan contradiu el VAN. El payback ignora el valor dels diners en el temps i els fluxos posteriors a la recuperació; si els dos criteris no coincidixen, mana el VAN.