De què va
Tota empresa suporta dos tipus de costos:
- Costos fixos (CF): no depenen de la quantitat produïda. El lloguer, les assegurances, els sous del personal administratiu, les amortitzacions. Es paguen encara que no es produïsca ni una sola unitat.
- Costos variables (CV): creixen amb la producció. Si cada unitat costa CVu euros de materials, mà d’obra directa, energia, etc., aleshores CV = CVu · Q.
El cost total és la suma de tots dos:
CT = CF + CVu · Q
Per la seua banda, si cada unitat es ven al preu P, l’ingrés total és:
IT = P · Q
La pregunta més important en la gestió d’una empresa xicoteta és: a partir de quantes unitats deixe de perdre diners? Eixa és exactament la pregunta que respon el punt mort (també anomenat llindar de rendibilitat).
La fórmula i la seua deducció
El punt mort Q* és la quantitat on l’empresa ni guanya ni perd, és a dir, on el benefici és zero. El benefici és IT − CT, així que:
Benefici = IT − CT = 0
Substituint:
P · Q* = CF + CVu · Q*
Passant el terme en Q* al mateix costat:
P · Q* − CVu · Q* = CF
Q* · (P − CVu) = CF
I aïllant Q*:
Q* = CF / (P − CVu)
El marge de contribució
El terme (P − CVu) rep el nom de marge de contribució unitari. La seua interpretació és directa: cada unitat venuda «aporta» (P − CVu) euros a cobrir els costos fixos. Tan prompte com hàgem venut prou unitats per a cobrir la totalitat dels CF, comencem a guanyar diners.
Si CF = 42 000 € i cada unitat aporta 2 € a cobrir eixos costos fixos, necessitarem vendre 21 000 unitats abans d’obtindre el primer euro de benefici.
Punt mort en euros (ingrés d’equilibri)
A vegades l’enunciat demana el llindar en euros de facturació, no en unitats. N’hi ha prou amb multiplicar Q* pel preu:
IT* = Q* · P = CF · P / (P − CVu)
O bé, expressat mitjançant la ràtio marge/preu:
IT* = CF / (1 − CVu / P)
Les dues expressions són equivalents; usa la primera si ja has calculat Q*.
El gràfic canònic
El gràfic IT/CT és obligatori en l’examen: pot valdre fins a 0,5 punts per si sol. Convé dibuixar-lo amb precisió i etiquetar-lo bé.
L’eix horitzontal representa les unitats produïdes i venudes (Q); l’eix vertical, els euros (€).
- La recta IT parteix de l’origen (0, 0) amb pendent P. Cada unitat que es ven afig exactament P euros als ingressos.
- La recta CT parteix del punt (0, CF) amb pendent CVu. Fins i tot amb Q = 0 l’empresa ja ha de pagar els costos fixos.
- El punt de tall d’IT i CT és el punt mort Q*. A l’esquerra d’eixe punt, CT > IT: l’empresa incorre en pèrdues. A la dreta, IT > CT: l’empresa obté beneficis.
La separació vertical entre IT i CT en qualsevol Q > Q* representa el benefici obtingut a eixe nivell de producció.
La calculadora al final d’esta fitxa genera este gràfic automàticament amb els valors que introduïsques.
Les variants que cauen en l’examen
Variant 1 — Benefici objectiu
L’enunciat demana quantes unitats cal vendre per a obtindre un benefici B concret (no zero). N’hi ha prou amb traslladar B al numerador:
Benefici = IT − CT = P · Q − CF − CVu · Q = (P − CVu) · Q − CF = B
Aïllant:
Q = (CF + B) / (P − CVu)
Mini-càlcul. CF = 42 000 €, CVu = 0,50 €, P = 2,50 €, B = 6 000 €:
Q = (42 000 + 6 000) / (2,50 − 0,50) = 48 000 / 2 = 24 000 unitats
Variant 2 — Canvia un cost fix (sou, lloguer)
Els socis s’assignen un sou total anual de 10 000 €, o puja el lloguer 3 000 €. El nou CF’ = CF + increment, i el punt mort puja:
Q*’ = CF’ / (P − CVu)
Mini-càlcul. CF’ = 42 000 + 10 000 = 52 000 €:
Q*’ = 52 000 / 2 = 26 000 unitats
Interpretació: per a poder pagar-se eixe sou l’empresa necessita vendre 5 000 unitats més a l’any.
Variant 3 — Canvia el CVu o el preu
Si baixen les matèries primeres i el nou CVu’ = 0,30 € (marge de contribució = 2,20 €):
Q*’ = 42 000 / 2,20 ≈ 19 091 unitats
Si el preu puja a P’ = 3 € (marge de contribució = 2,50 €):
Q*’ = 42 000 / 2,50 = 16 800 unitats
En tots dos casos el marge de contribució augmenta i el punt mort baixa: són notícies favorables per a l’empresa.
Variant 4 — Es manté un objectiu si puja un cost?
L’enunciat planteja: «Si el lloguer puja 4 000 €, es pot continuar pagant el sou de 10 000 € mantenint el punt mort inicial?».
El CF necessari perquè el punt mort no supere Q* = 21 000 és:
CF_màxim = Q* · (P − CVu) = 21 000 · 2 = 42 000 €
Si ja tenim CF = 42 000 + 4 000 (lloguer) = 46 000 €, no hi ha marge per a afegir el sou: 46 000 + 10 000 = 56 000 > 42 000. El punt mort pujaria a 28 000 unitats. La resposta és no es pot mantindre a eixe volum de producció, tret que es puge el preu o es reduïsca el CVu.
La clau en esta variant és aïllar la incògnita demanada i interpretar el resultat.
Mini-exemple resolt complet
Enunciat. Una empresa xicoteta de sucs artesanals té les dades següents:
- Costos fixos anuals: 42 000 € (lloguer, sous administració, assegurances)
- Cost variable unitari: 0,50 €/botella (fruita, envàs, etiqueta)
- Preu de venda: 2,50 €/botella
a) Calcula el punt mort.
Marge de contribució = P − CVu = 2,50 − 0,50 = 2,00 €/botella
Q* = CF / (P − CVu) = 42 000 / 2 = 21 000 botelles/any
Interpretació: l’empresa necessita vendre 21 000 botelles a l’any per a cobrir tots els seus costos. Per davall d’eixa xifra incorre en pèrdues; per damunt, obté beneficis.
b) Variant: els dos socis decidixen assignar-se un sou de 6 000 € anuals cada un. Quant és el nou punt mort?
Els sous són un cost fix addicional: CF’ = 42 000 + 6 000 + 6 000 = 54 000 €
Q*’ = 54 000 / 2 = 27 000 botelles/any
Interpretació: perquè l’empresa puga cobrir tant els costos operatius com la retribució dels socis, la producció i la venda haurà d’arribar a les 27 000 botelles anuals, és a dir, 6 000 botelles més que abans.
En l’examen
La Part II de l’Olimpíada sol estructurar-se en quatre apartats (a, b, c, d) de 0,75 punts cada un. L’exercici del punt mort seguix eixe patró quasi sempre:
- Apartat (a): dades, funcions de CT i IT, i càlcul de Q*.
- Apartat (b): benefici o pèrdua a un volum donat, o unitats per a un ingrés donat.
- Apartat (c): nova situació (sou, lloguer, preu) → nou punt mort.
- Apartat (d): interpretació, comparació o decisió raonada.
Recorda sempre:
- Dibuixa el gràfic (rectes IT i CT, punt de tall, zona de pèrdues i zona de beneficis): suma punts encara que el càlcul tinga errors.
- Indica les unitats del resultat (unitats/any, botelles, kg…): sense unitats, el corrector pot descomptar.
- Escriu una frase d’interpretació després de cada resultat: «açò significa que…».
- Practica amb la calculadora de baix: introduïx les dades de l’enunciat, verifica els teus càlculs i observa el gràfic abans de l’examen.