De qué va
Toda empresa soporta dos tipos de costes:
- Costes fijos (CF): no dependen de la cantidad producida. El alquiler, los seguros, los sueldos de personal administrativo, las amortizaciones. Se pagan aunque no se produzca ni una sola unidad.
- Costes variables (CV): crecen con la producción. Si cada unidad cuesta CVu euros de materiales, mano de obra directa, energía, etc., entonces CV = CVu · Q.
El coste total es la suma de ambos:
CT = CF + CVu · Q
Por su parte, si cada unidad se vende al precio P, el ingreso total es:
IT = P · Q
La pregunta más importante en la gestión de una empresa pequeña es: ¿a partir de cuántas unidades dejo de perder dinero? Esa es exactamente la pregunta que responde el punto muerto (también llamado umbral de rentabilidad).
La fórmula y su deducción
El punto muerto Q* es la cantidad donde la empresa ni gana ni pierde, es decir, donde el beneficio es cero. El beneficio es IT − CT, así que:
Beneficio = IT − CT = 0
Sustituyendo:
P · Q* = CF + CVu · Q*
Pasando el término en Q* al mismo lado:
P · Q* − CVu · Q* = CF
Q* · (P − CVu) = CF
Y despejando Q*:
Q* = CF / (P − CVu)
El margen de contribución
El término (P − CVu) recibe el nombre de margen de contribución unitario. Su interpretación es directa: cada unidad vendida «aporta» (P − CVu) euros a cubrir los costes fijos. En cuanto hayamos vendido suficientes unidades como para cubrir la totalidad de los CF, empezamos a ganar dinero.
Si CF = 42 000 € y cada unidad aporta 2 € a cubrir esos costes fijos, necesitaremos vender 21 000 unidades antes de obtener el primer euro de beneficio.
Punto muerto en euros (ingreso de equilibrio)
A veces el enunciado pide el umbral en euros de facturación, no en unidades. Basta con multiplicar Q* por el precio:
IT* = Q* · P = CF · P / (P − CVu)
O bien, expresado mediante el ratio margen/precio:
IT* = CF / (1 − CVu / P)
Ambas expresiones son equivalentes; usa la primera si ya calculaste Q*.
El gráfico canónico
El gráfico IT/CT es obligatorio en el examen: puede valer hasta 0,5 puntos por sí solo. Conviene dibujarlo con precisión y etiquetarlo bien.
El eje horizontal representa las unidades producidas y vendidas (Q); el eje vertical, los euros (€).
- La recta IT parte del origen (0, 0) con pendiente P. Cada unidad que se vende añade exactamente P euros a los ingresos.
- La recta CT parte del punto (0, CF) con pendiente CVu. Incluso con Q = 0 la empresa ya debe pagar los costes fijos.
- El punto de corte de IT y CT es el punto muerto Q*. A la izquierda de ese punto, CT > IT: la empresa incurre en pérdidas. A la derecha, IT > CT: la empresa obtiene beneficios.
La separación vertical entre IT y CT en cualquier Q > Q* representa el beneficio obtenido a ese nivel de producción.
La calculadora al final de esta ficha genera este gráfico automáticamente con los valores que introduzcas.
Las variantes que caen en el examen
Variante 1 — Beneficio objetivo
El enunciado pide cuántas unidades hay que vender para obtener un beneficio B concreto (no cero). Basta con trasladar B al numerador:
Beneficio = IT − CT = P · Q − CF − CVu · Q = (P − CVu) · Q − CF = B
Despejando:
Q = (CF + B) / (P − CVu)
Mini-cálculo. CF = 42 000 €, CVu = 0,50 €, P = 2,50 €, B = 6 000 €:
Q = (42 000 + 6 000) / (2,50 − 0,50) = 48 000 / 2 = 24 000 unidades
Variante 2 — Cambia un coste fijo (sueldo, alquiler)
Los socios se asignan un sueldo total anual de 10 000 €, o sube el alquiler 3 000 €. El nuevo CF’ = CF + incremento, y el punto muerto sube:
Q*’ = CF’ / (P − CVu)
Mini-cálculo. CF’ = 42 000 + 10 000 = 52 000 €:
Q*’ = 52 000 / 2 = 26 000 unidades
Interpretación: para poder pagarse ese sueldo la empresa necesita vender 5 000 unidades más al año.
Variante 3 — Cambia el CVu o el precio
Si bajan las materias primas y el nuevo CVu’ = 0,30 € (margen de contribución = 2,20 €):
Q*’ = 42 000 / 2,20 ≈ 19 091 unidades
Si el precio sube a P’ = 3 € (margen de contribución = 2,50 €):
Q*’ = 42 000 / 2,50 = 16 800 unidades
En ambos casos el margen de contribución aumenta y el punto muerto baja: son noticias favorables para la empresa.
Variante 4 — ¿Se mantiene un objetivo si sube un coste?
El enunciado plantea: «Si el alquiler sube 4 000 €, ¿puede seguir pagándose el sueldo de 10 000 € manteniendo el punto muerto inicial?».
El CF necesario para que el punto muerto no supere Q* = 21 000 es:
CF_máximo = Q* · (P − CVu) = 21 000 · 2 = 42 000 €
Si ya tenemos CF = 42 000 + 4 000 (alquiler) = 46 000 €, no hay margen para añadir el sueldo: 46 000 + 10 000 = 56 000 > 42 000. El punto muerto subiría a 28 000 unidades. La respuesta es no se puede mantener a ese volumen de producción, salvo que se suba el precio o se reduzca el CVu.
La clave en esta variante es despejar la incógnita pedida e interpretar el resultado.
Mini-ejemplo resuelto completo
Enunciado. Una pequeña empresa de zumos artesanales tiene los siguientes datos:
- Costes fijos anuales: 42 000 € (alquiler, sueldos administración, seguros)
- Coste variable unitario: 0,50 €/botella (fruta, envase, etiqueta)
- Precio de venta: 2,50 €/botella
a) Calcula el punto muerto.
Margen de contribución = P − CVu = 2,50 − 0,50 = 2,00 €/botella
Q* = CF / (P − CVu) = 42 000 / 2 = 21 000 botellas/año
Interpretación: la empresa necesita vender 21 000 botellas al año para cubrir todos sus costes. Por debajo de esa cifra incurre en pérdidas; por encima, obtiene beneficios.
b) Variante: los dos socios deciden asignarse un sueldo de 6 000 € anuales cada uno. ¿Cuánto es el nuevo punto muerto?
Los sueldos son un coste fijo adicional: CF’ = 42 000 + 6 000 + 6 000 = 54 000 €
Q*’ = 54 000 / 2 = 27 000 botellas/año
Interpretación: para que la empresa pueda cubrir tanto los costes operativos como la retribución de los socios, la producción y venta deberá alcanzar las 27 000 botellas anuales, es decir, 6 000 botellas más que antes.
En el examen
La Parte II de la Olimpiada suele estructurarse en cuatro apartados (a, b, c, d) de 0,75 puntos cada uno. El ejercicio del punto muerto sigue ese patrón casi siempre:
- Apartado (a): datos, funciones de CT e IT, y cálculo de Q*.
- Apartado (b): beneficio o pérdida a un volumen dado, o unidades para un ingreso dado.
- Apartado (c): nueva situación (sueldo, alquiler, precio) → nuevo punto muerto.
- Apartado (d): interpretación, comparación o decisión razonada.
Recuerda siempre:
- Dibuja el gráfico (rectas IT y CT, punto de corte, zona de pérdidas y zona de beneficios): suma puntos aunque el cálculo tenga errores.
- Indica las unidades del resultado (unidades/año, botellas, kg…): sin unidades, el corrector puede descontar.
- Escribe una frase de interpretación tras cada resultado: «esto significa que…».
- Practica con la calculadora de abajo: introduce los datos del enunciado, verifica tus cálculos y observa el gráfico antes del examen.