El punt mort (o llindar de rendibilitat) és la quantitat que una empresa ha de vendre per a cobrir tots els seus costos: ni guanya ni perd. Per davall hi ha pèrdues; per damunt, beneficis. La mateixa lògica de costos fixos i variables servix per a decidir si convé fabricar un component o comprar-lo fora.
Formulari
- Costos totals: CT = CF + CV
- Costos variables: CV = CVu × Q
- Cost total mitjà: CTMe = CT / Q
- Ingressos: I = P × Q
- Benefici: B = I − CT = (P − CVu) × Q − CF
- Punt mort en unitats: Q* = CF / (P − CVu)
- Punt mort en euros: I* = Q* × P
- Quantitat per a un benefici objectiu: Q = (CF + B) / (P − CVu)
- Punt d’indiferència (fabricar o comprar): CF + CVu × Q = Pext × Q, és a dir, Q = CF / (Pext − CVu)
El denominador (P − CVu) és el marge de contribució unitari: el que aporta cada unitat venuda a cobrir els costos fixos una vegada pagat el seu cost variable.
Problemes resolts
Problema 1 — Costos, cost mitjà i punt mort
Enunciat. L’empresa valenciana Taronja Tech fabrica carregadors solars. Els seus costos fixos anuals són de 90.000 euros. Cada unitat té un cost variable de 30 euros i es ven a 75 euros. Per a una producció de 4.000 unitats, calcula: a) els costos totals; b) el cost total mitjà; c) el punt mort en unitats i en euros.
Solució.
a) Costos totals per a Q = 4.000:
CV = CVu × Q = 30 × 4.000 = 120.000 euros CT = CF + CV = 90.000 + 120.000 = 210.000 euros
b) Cost total mitjà:
CTMe = CT / Q = 210.000 / 4.000 = 52,50 euros/unitat
c) Punt mort:
Q* = CF / (P − CVu) = 90.000 / (75 − 30) = 90.000 / 45 = 2.000 unitats Ingressos* = Q* × P = 2.000 × 75 = 150.000 euros
Interpretació. Produir 4.000 carregadors costa 210.000 euros, la qual cosa equival a 52,50 euros per unitat. L’empresa cobrix tots els seus costos (no guanya ni perd) en vendre 2.000 unitats, que generen 150.000 euros d’ingressos. A partir de la unitat 2.001 comença a obtindre beneficis; per davall de 2.000 unitats incorre en pèrdues. Com que produïx 4.000 (el doble del punt mort), opera amb folgança en zona de beneficis.
Problema 2 — Punt mort i benefici en un nivell de vendes
Enunciat. Un taller d’impressió 3D té costos fixos de 24.000 euros a l’any. Fabrica figures amb un cost variable unitari de 8 euros i les ven a 20 euros. a) Troba el punt mort en unitats. b) Si l’any passat va vendre 3.500 figures, quin benefici va obtindre?
Solució.
a) Punt mort:
Q* = CF / (P − CVu) = 24.000 / (20 − 8) = 24.000 / 12 = 2.000 figures
b) Benefici amb Q = 3.500:
Ingressos = P × Q = 20 × 3.500 = 70.000 euros CT = CF + CVu × Q = 24.000 + 8 × 3.500 = 24.000 + 28.000 = 52.000 euros Benefici = Ingressos − CT = 70.000 − 52.000 = 18.000 euros
Comprovació ràpida amb el marge: (3.500 − 2.000) × 12 = 1.500 × 12 = 18.000 euros. Coincidix.
Interpretació. El taller necessita vendre 2.000 figures per a no tindre ni pèrdues ni guanys. Com que en va vendre 3.500, va superar el llindar en 1.500 unitats i va obtindre 18.000 euros de benefici. Cada figura venuda per damunt del punt mort aporta 12 euros de marge al resultat.
Problema 3 — Decisió de produir o comprar (make-or-buy)
Enunciat. Una empresa de mobiliari necessita 5.000 tiradors metàl·lics a l’any. Fabricar-los internament suposa uns costos fixos addicionals de 15.000 euros (maquinària i utillatge) i un cost variable de 2 euros per tirador. Un proveïdor extern els ven a 5 euros la unitat. Determina, mitjançant el punt d’indiferència i la comparació de costos, si convé fabricar o comprar per a eixa quantitat.
Solució.
Comparem el cost de cada opció per a Q = 5.000.
Cost de FABRICAR = CF + CVu × Q = 15.000 + 2 × 5.000 = 15.000 + 10.000 = 25.000 euros Cost de COMPRAR = Preu extern × Q = 5 × 5.000 = 25.000 euros
Just coincidixen, així que calculem el punt d’indiferència (la quantitat per a la qual les dues opcions costen el mateix):
CF + CVu × Q = Pext × Q → 15.000 + 2Q = 5Q → 15.000 = 3Q → Q = 5.000 unitats
Interpretació. El punt d’indiferència està exactament en 5.000 tiradors. Per a la quantitat necessària (5.000) les dues opcions costen el mateix, 25.000 euros, per la qual cosa en termes de cost és indiferent. La regla per a decidir és clara: si l’empresa necessitarà més de 5.000 tiradors a l’any, li convé fabricar (el cost variable més baix, 2 enfront de 5 euros, compensa els 15.000 euros fixos); si en necessitarà menys de 5.000, li convé comprar al proveïdor extern. Amb exactament 5.000, la decisió es prendria per criteris qualitatius (control de qualitat, dependència del proveïdor, flexibilitat).
Problema 4 — Punt mort, benefici objectiu i baixada de preu (tipus examen)
Enunciat. Fang i Foc S.L. és un taller de ceràmica de Manises que fabrica tasses artesanals. Els seus costos fixos anuals (lloguer, forn, sous fixos) són de 60.000 euros. Cada tassa té un cost variable de 14 euros (argila, esmalt, energia i embalatge) i es ven a 30 euros.
a) Calcula el punt mort en unitats i en euros.
b) Quantes tasses ha de vendre per a obtindre un benefici de 20.000 euros?
c) L’arribada d’un competidor obliga a baixar el preu a 26 euros. Calcula el nou punt mort i el benefici si ven les tasses de l’apartat b).
Solució.
a) Plantejament: Q* = CF / (P − CVu).
Marge unitari = 30 − 14 = 16 euros Q* = 60.000 / 16 = 3.750 tasses I* = 3.750 × 30 = 112.500 euros
b) Plantejament: Q = (CF + B) / (P − CVu).
Q = (60.000 + 20.000) / 16 = 80.000 / 16 = 5.000 tasses
c) Amb el preu nou, el marge unitari baixa a 26 − 14 = 12 euros.
Q* = 60.000 / 12 = 5.000 tasses Benefici amb Q = 5.000: Ingressos = 26 × 5.000 = 130.000 euros; CT = 60.000 + 14 × 5.000 = 130.000 euros B = 130.000 − 130.000 = 0 euros
Resultat: punt mort inicial de 3.750 tasses (112.500 euros); 5.000 tasses per a guanyar 20.000 euros; amb el preu de 26 euros el punt mort puja a 5.000 tasses i el benefici d’eixes vendes cau a 0 euros.
Interpretació. Baixar el preu un 13 % reduïx el marge de cada tassa un 25 % (de 16 a 12 euros), així que el taller necessita vendre un terç més (de 3.750 a 5.000 tasses) només per a cobrir costos. Les 5.000 tasses que abans donaven 20.000 euros de benefici ara només arriben al punt mort. Per a recuperar el benefici, l’empresa hauria de vendre més, reduir el seu cost variable o retallar costos fixos.
Representació gràfica del punt mort
El gràfic del punt mort es dibuixa amb la quantitat Q a l’eix horitzontal i els euros a l’eix vertical. Es tracen tres línies: la de costos fixos (horitzontal, paral·lela a l’eix X a l’altura de CF), la de costos totals (recta que parteix de CF i puja amb pendent CVu) i la d’ingressos (recta que ix de l’origen amb pendent P). El punt mort és la intersecció entre la recta d’ingressos i la de costos totals. A l’esquerra d’eixe punt la recta de costos totals queda per damunt de la d’ingressos (zona de pèrdues); a la dreta, la d’ingressos queda per damunt (zona de beneficis). La distància vertical entre les dues rectes en qualsevol nivell de producció és el benefici o la pèrdua.
Errors típics que resten punts
- Dividir els costos fixos entre el preu. El denominador és el marge unitari (P − CVu), no el preu ni el cost variable.
- Deixar el punt mort amb decimals sense interpretar-lo. No es venen mitges unitats: si ix 3.750,4, cal vendre’n 3.751 per a no tindre pèrdues (s’arrodonix sempre cap amunt).
- Confondre el punt mort en unitats amb el punt mort en euros. Són dos resultats distints: Q* en unitats i I* = Q* × P en euros.
- Oblidar el benefici objectiu. Per a guanyar una quantitat concreta, el benefici desitjat se suma als costos fixos en el numerador.
- Comparar només els costos variables en decidir si fabricar o comprar. Fabricar té costos fixos que cal repartir; sense ells, fabricar pareix més barat sempre que el CVu siga menor que el preu extern.